Криптография > Псевдослучайные последовательности > Рекуррентные двоичные
 
 

Рекуррентные двоичные

Рекуррентные двоичные последовательности. Изложим теперь способ построения последовательностей случайных чисел с гарантировано хорошими для криптографии свойствами. Читатели, не интересующиеся практикой криптографии или стохастического моделирования, могут спокойно опустить эту подглавку и перейти к следующей. Для тех, кто решит все-таки изучить ее, сделаем несколько замечаний. Автор не рассчитывал на серьезную математическую подготовку читателей - в подавляющем большинстве институтов и университетов страны курс теории конечных полей если и читается, то лишь факультативно. Поэтому систематичности и строгости изложения ожидать не приходится. Цель - освоение принципов программной реализации хороших рядов псевдослучайных чисел, что достигается приведением аналогов и разбором конкретных примеров. Тем не менее, программисты по-видимому будут удовлетворены приведенной детальностью изложения, а ценители математической строгости могут уточнить неясные для себя вопросы, обратившись к книге "Современная прикладная алгебра" Г. Биркгоф и Т. Барти (Москва, "Мир", 1976) или же анналам математики Бурбаки.

По определению сложности закона генерации ряда чисел, если сложность последовательности {Gi} равна m, то любые m+1 последовательные ее значения зависимы. Если же эта зависимость представима линейной, то получается рекуррентное соотношение следующего вида:

          C0*Gi+C1*G(i-1)+...+Cm*G(i-m)=0

При этом C0 и Cm обязаны быть неравными нулю. По начальным данным Go, Gi, ... Gm-1 длины m строится бесконечная последовательность. Каждый ее последующий член определяется из m предыдущих. Последовательности такого вида легко реализуются на ЭВМ. Особенно простой вид их реализации получается когда все с, и д, принимают лишь значения 0 и 1, что соответствует значениям отдельных бит. На множестве таких чисел определены алгебраические операции сложения и умножения, то есть имеется поле из двух элементов. Поля указанного типа с конечным числом элементов называются по фамилии их первооткрывателя Эвариста Галуа и для поля с n элементами обозначаются как GF(n), где GF - аббревиатура от слов Galois Field (поле Галуа). Они существуют, лишь когда n равно простому числу, и тогда называются простыми, или степени простого числа, и тогда называются расширениями соответствующего простого поля. Так, поле из 2 элементов GF(2) - простое поле порядка 2, a GF(4) - его расширение. При вычислениях на ЭВМ используются поля Галуа из элементов {0, 1}, обозначаемые GF(2**N) и соответствующие строкам данных длиной в N бит. Таблицы арифметических операций в GF(2) будут следующими:

   +  0  1            * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1

На ЭВМ такому сложению соответствует операция XOR, уже известная нам по машинному шифру ручной замены, а умножению - операция AND. Это поле обладает замечательным свойством - операция вычитания в нем тождественна операции сложения и в записях не употребляется. Поля бит, как байт или слово, можно представить векторами, каждая компонента которых принимает значения из GF(2). Такие вектора удобно рассматривать как многочлены. Байт, например, можно представить многочленом седьмой степени, каждый член которого соответствует одному ненулевому биту в байте:

             (10010101 )=x**7+x**4+x**2+1 

Представление битовых полей данных в ЭВМ многочленами упрощает рассмотрение операции их сдвига. Сдвигу данных влево на один бит соответствует умножение многочлена на х, а вправо - деление на х.

Совокупность всех многочленов степени меньше n представляет собой векторное пространство размерности n над GF(2), так как многочлены можно складывать, вычитать или умножать на константу.

Теперь, фиксировав неразрешимый над GF(2) многочлен f(x) степени n+1, рассмотрим остатки от деления на него других многочленов. Их множество совпадает с множеством многочленов степени не больше n. Например, f(x)=x**2+x+1 над GF(2) неприводим, потому что f(0)=1 и f(1)=1. Для него остатками будут элементы {0, 1, х, х+1}. На множестве этих остатков можно задать арифметические операции сложения и умножения, рассматривая остатки от деления на многочлен f(x). Легко проверить, что определенные таким образом сложение и умножение обладают всеми необходимыми свойствами обычных арифметических операций: коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью. Результат сложения или умножения над двумя элементами из приведенного множества тоже ему принадлежит. И, наконец, в множестве определены О и 1 так, что для произвольного элемента х имеем 0+х=х и 1*х=х. Таким образом, получено GF(4) - расширение поля GF(2) присоединением к нему остатков от деления произвольных многочленов на неприводимый над ним многочлен х**2+х+1. Выбирая разные неприводимые многочлены, можно получать разные расширения GF(2).

Из школьного курса математики известно, что над полем комплексных чисел любой многочлен разложим на линейные множители или, что то же самое, имеет столько корней, какова его степень. Однако это не так для других полей - в полях действительных или рациональных чисел многочлен х**2+х+1 корней не имеет и не может быть разложен на линейные множители. Аналогично, в поле GF(2) многочлен х**2+х+1 тоже не имеет корней, что просто проверить непосредственно: 1*1+1+1=1 и 0*0+0+1=1. Тем не менее у f(x)=x**2+x+1 в поле Галуа GF(4) существует корень х, соответствующий многочлену х из таблиц выше, так как f(x)=х**2 +х+1 по модулю f(x).

Элементы поля Галуа GF(2**N) относительно умножения образуют абелеву группу, то есть на этом множестве для любых его элементов х, у и z выполняются аксиомы:

     x*y=y*x*x*(y*z)=(x*y)*zx*1=1*xx*1/x=1/x*x=1

Если рассмотреть степени произвольного элемента х из GF(2**N), то обнаружим, что они образуют абелеву подгруппу. Такие подгруппы принято именовать циклическими. Число элементов этой подгруппы называют порядком элемента х. Из такого определения порядка следует, что если многочлен р(х) принадлежит GF(2**N) и имеет порядок k, то р(х)**K=1. Разберем теперь несколько важных свойств, касающихся порядка элементов в GF(2 ), изложенных в виде теорем.

Разделы